Versluys/Volgorde der bewerkingen

De volgorde der bewerkingen is een hoofdstuk uit het Leerboek der Rekenkunde, deel 3 ("ten dienste van onderwijzers", dit deel is een studieboek voor de hoofdonderwijzersakte).

De volgorde der bewerkingen
Auteur	Jan Versluys (1845-1920)
Genre(s)	Schoolboek
Brontaal	Nederlands
Datering	1875
Bron	Leerboek der Rekenkunde, deel 3, pp. 174-176
Auteursrecht	Publiek domein
Logo Wikipedia Meer over De volgorde der bewerkingen op Wikipedia

De volgorde der bewerkingen

§ 391. Letten wij op de volgende bewerkingen:

optelling, aftrekking,
vermenigvuldiging, deeling,
machtsverheffing, worteltrekking en
het nemen van de logarithme van een getal.

Men heeft vooreerst de overeenkomst gemaakt, dat de machtsverheffing gaat vóór al de andere bewerkingen. Zoo beduidt

6 + 5², dat bij 6 moet opgeteld worden de tweedemacht van 5.
16 - 2³, dat van 16 moet afgetrokken worden de derdemacht van 2.
7² × 5, dat 5 moet vermenigvuldigd worden met de tweede macht van 7.
48 : 2⁴, dat 48 moet gedeeld worden door de vierdemacht van 2.
log. 10⁵, dat men tien eerst tot de vijfdemacht moet brengen en van het komende getal de logarithme moet nemen.

Dit gaat ook nog door, als men getallen door letters voorstelt; zoodat in ab⁴ de vierdemacht moet genomen worden van b en niet van ab.

§ 392. In de tweede plaats is aangenomen, de vermenigvuldiging te laten voorafgaan aan al de andere bewerkingen behalve de machtsverheffing. Bv.

in 6 + 5 × 2 moet 5 en niet 6 + 5 vermenigvuldigd worden met 2.
log. ab en log. 5 × 7 duiden de log. van een produkt aan.
in 7 : 5 × 4 en a : bc moet het eerste getal gedeeld worden door het produkt der beide andere getallen.
8 × 5 : 2 × 10 beteekent dus, dat het produkt van 8 en 5 moet gedeeld worden door het produkt van 2 en 10

In de derde plaats gaat de deeling vooraf aan de worteltrekking, aan het nemen van de logarithme, aan het optellen en het aftrekken. Zoo beduidt

Log. 8 : 2, dat men eerst 8 moet deelen door 2, en van het komende quotiënt de logarithme nemen.
${\sqrt[{3}]{}}$ 8 : 2, dat men eerst 8 door 2 moet deelen en uit het komende getal den derdemachts wortel moet trekken.
7 + 2 : 3, dat men 2 eerst door 3 moet deelen, om het komende quotiënt op te tellen bij 7.

In de vierde plaats gaat de worteltrekking vooraf, aan de optelling en de aftrekking. Ten aanzien van den voorrang tusschen worteltrekking en het nemen van de logarithme, valt op te merken, dat hij in het schrift van zelve wordt aangeduid. Zoo gaat bij √ log. 37 het nemen van de logaritme vóór en bij log. √ 37 de worteltrekking.

In de vijfde plaats, gaat het nemen van de logarithme vooraf aan de optelling en de aftrekking. Zoo beduidt

log. 23 - 1, dat men eerst van 23 de logarithme moet nemen, om van het komende getal 1 af te trekken.

Ten aanzien van den voorrang tusschen samentelling en aftrekking valt op te merken, dat men de op te tellen en af te trekken getallen schrijft in de volgorde, waarin men er mee werken moet. Zoo beduidt 8 + 3 - 5 + 7 - 6, dat bij 8 moet opgeteld worden 3, dat van de som 5 moet afgetrokken worden, dat bij het komende verschil 7 moet opgeteld worden en dat men van de laatste som 6 moet aftrekken. Uit de eigenschappen van die. bewerkingen blijkt intusschen, dat het onverschillig is, welke van de 2 men laat voorafgaan.

§ 393. Ofschoon de vermenigvuldiging en de deeling voorafgaan aan de worteltrekking, bedoelt men met √ 6 × √ 8 en √ 5 : √ 3, dat het produkt of het quotiënt van 2 wortels moet genomen worden, zoodat in deze bijzondere gevallen de worteltrekking voorafgaat. Ofschoon de deeling en de vermenigvuldiging voorafgaan aan het nemen van de logarithme, beduidt

log. 12 : log. 2 en log. 6 × log. 5, dat het quotiënt of 't produkt van 2 logarithmen moet genomen worden.

OPMERKING. Er is niets vreemds in, om het nemen van de logarithme op één lijn te stellen met een bewerking als de machtsverheffing en de worteltrekking.

§ 394. Is de exponent van een macht weer een macht, dan schrijft men dat zonder haakjes; dus geeft $6^{5^{4}}$ te kennen, dat 5⁴ de exponent is van 6 en niet, dat 4 de exponent is van 6⁵ .

§ 395. Bij de deeling valt nog op te merken, dat wij alleen het oog hadden op deelingen, die aangeduid werden door het teeken : . Wordt het deelen aangewezen door de getallen in den vorm van een breuk te schrijven, dan beschouwt men zulk een breuk als een enkel getal.

§ 396. Vatten wij al het voorgaande samen, dan hebben wij voor de bewerkingen de volgende rangorde

machtsverheffing
vermenigvuldiging
deeling
worteltrekking
het nemen van de logarithme
optelling en aftrekking,

waarbij nog moet gelet worden op hetgeen in § 393 gezegd is.

§ 397. Moeten de bewerkingen in een andere volgorde uitgevoerd worden, dan gebruikt men daarvoor haakjes, waarbij een vorm, die tusschen haakjes staat, als een enkel getal beschouwd wordt. Moet dus de som van 5 en 8 met 6 vermenigvuldigd worden, dan schrijft men

6 × (5 + 8) of 6 (5 + 8).

In 6 × 5 + 8 moet alleen 5 met 6 vermenigvuldigd worden. Moet de tweedemacht genomen worden van de logarithme van 6, zoo schrijft men (log. 6)² . Voor de derdemacht van 8 × 5 × 4 schrijft men

(8 × 5 × 4)³

§ 398. Moet een vorm, waarin haakjes voorkomen, als een enkel getal beschouwd worden, dan schrijft men hem tusschen akkolades. Moet een vorm, waarin haakjes en akkolades voorkomen, als een enkel getal beschouwd worden, dan schrijft men hem tusschen vierkante haakjes. Moet een vorm, waarin haakjes, akkolades en vierkante haakjes voorkomen, als een enkel getal beschouwd worden, dan schrijft men hem tusschen dikkere en grootere haakjes, akkolades of vierkante haken dan eerst gebruikt zijn. Zoo kan men voortgaan. In het bovenstaande lieten wij de akkolades voorafgaan aan vierkante haken: somtijds neemt men de volgorde anders. Dit levert echter nooit bezwaar op, daar voorafgaat, wat het verst naar binnen staat. Bij wortels worden de haakjes somtijds vervangen door een streep; aldus √(6 + 7) = √6 + 7.